jueves, 10 de junio de 2010

La batalla de los sexos, o cómo aplicar la teoría de juegos a la vida diaria

Uno de los ejemplos más típicos en las aplicaciones de teoría de juegos es el conocido como la batalla de los sexos, un juego que ilustra la posibilidad de existencia de múltiples equilibrios de Nash, y además, que éstos sean cooperativos (o no competitivos). Se trata por tanto de un juego sencillo en su forma más básica, pero con importantes implicaciones a la hora de entender ciertos mecanismos básicos de la teoría de juegos.

¿En qué consiste? Supongamos una pareja de novios que han quedado para salir juntos el fin de semana. El problema es que no han decidido a dónde van a ir. Ambos están trabajando toda la semana y no pueden verse hasta el viernes por la noche, por lo que hasta ese momento no podrán decidirlo. Al chico le encantaría ir a beber cerveza a raudales a un precio asequible, mientras que la chica preferiría salir tranquilamente a tomar un café (y quién sabe, quizá caiga alguna copa, pero con moderación). La cuestión es que, independientemente del sitio al que vayan, los dos tienen claro que prefieren estar juntos (esa es la gracia de salir en pareja, si no, no quedarían). El juego puede representarse de forma matricial, como podéis ver en la siguiente tabla:


Donde las ganancias del chico se muestran por filas según al lugar al que vayan y las de la chica, por columnas. La tabla muestra que ningún jugador gana nada si eligen ir a sitios distintos. Las ganancias únicamente se obtienen cuando ambos coinciden. Obviamente, dada esa condición, el chico prefiere ir a llenar su cuerpo de cerveza (por eso su ganancia es de 2, y la de su novia, que se conforma con acompañarle, sólo de 1), mientras que la chica prefiere ir a tomar un café (es la situación inversa a la anterior). ¿Qué elegirá cada uno? Llegados a este punto tenemos que pensar cómo respondería cada uno ante la propuesta del otro. Si el chico propone ir a tomar cerveza (algo bastante probable) su novia puede optar por acompañarle o irse a tomar un café. Como prefiere estar con él a irse sóla, decidirá acompañarle. Si la chica propone ir a tomar un café, su novio responderá de la misma forma. De esta forma, vemos que existen dos soluciones posibles a este juego: O los dos van juntos a beber cerveza, o los dos van juntos a tomar café (teniendo en cuenta la resignación de una de las partes en cada caso). A estas dos posibles soluciones del juego las denominamos equilibrios de Nash. Como decíamos en un principio, puede verse que ambas son cooperativas (los jugadores sólo obtienen ganancias cuando coinciden, ceden o conceden en su decisión). La siguiente tabla remarca qué soluciones del juego son equilibrios de Nash:


Ahora bien, cuando ambos se encuentren este viernes por la noche, ¿qué decidirán en concreto? No podemos saberlo. En principio, cualquiera de las dos soluciones que hemos comentado es válida. De hecho, podríamos esperar que ambos se encontrasen, hablasen un rato de banalidades y después, con o sin discusión de por medio, al final uno de los dos ceda ante la propuesta del otro.

Supongamos ahora que esta situación se repite cada fin de semana, y la chica comienza a estar harta de tener una discusión cada viernes antes de decidir dónde va a salir con su novio, así que decide hacer algo para solucionarlo (y si la solución pasa porque los dos vayan a tomar un café en vez de cerveza, mucho mejor). La chica plantea entonces una estrategia, consistente en proponer siempre ir a tomar un café. Si su novio acepta, ambos se encontrarían en una de las soluciones vistas antes. Sin embargo, si el novio propone en su lugar ir a tomar cerveza, la chica no cederá. Además, para intentar ser más persuasiva, planteará algún tipo de castigo (aquí dejo volar la imaginación de cada cual) si su novio no le acompaña al café. Este tipo de estrategias se denominan estrategias de disparador (trigger-strategies), ya que se "activan" dependiendo de la reacción del otro jugador. En última instancia, el objetivo de la chica es conseguir que, sin discusión de por medio, ambos decidan ir siempre a tomar un café cada viernes, o en otras palabras, que su novio siempre ceda. Podemos representar esta nueva situación en la siguiente tabla:


Donde ahora se refleja el castigo de la chica si su novio decide ir por su cuenta a tomar cerveza y también la solución objetivo que la chica pretende incentivar. ¿Funcionará la estrategia de la chica? Para saberlo, tenemos que comparar las ganancias del chico si cede o no ante su novia cada vez que queden (que esperamos, sean muchas, infinitas, podría decirse). Además, vamos a suponer que la discusión de cada encuentro les hace perder cada vez más la paciencia. Si el chico optase por seguirle el juego a su novia y ceder a su proposición, sus ganancias serían:


Donde α [0,1] es el factor de descuento de sucesivas etapas (que podríamos interpretar como la pérdida de paciencia de la pareja ante cada nueva discusión) y 1 es la ganancia que obtiene el chico si cede y acompaña a su novia a tomar un café cada vez que quedan. Ahora bien, si el chico no tiene intención de ceder y opta por ir a tomar su cerveza, su ganancia (teniendo presente que en la siguiente ocasión su novia le castigará como estime oportuno) serían:


Donde puede verse que el chico se sale con la suya en la primera ocasión, pero en las siguientes, dado que su novia pasa a no ceder en su intención de ir a tomarse un café, recibe el castigo que ella le tenía preparado. Para saber por cuál de las dos opciones se decantará el novio, tenemos que comparar las ganancias que obtendría en cada una de ellas. Si las de la opción que implica ceder son mayores, entonces la estrategia planeada por su novia para evitar discusiones en la pareja (y además, ir bastante más a menudo al café), será estable, y por tanto funcionará.



Realizando los cálculos pertinentes, obtenemos que si la pérdida de paciencia en cada etapa sucesiva es de α > 0,25, entonces la estrategia de la chica funcionará y la pareja, siempre que quede, optará por ir a tomar un café. Se acabaron las discusiones. No obstante, es interesante comprar cómo en estos casos la viabilidad de la estrategia depende de la paciencia de los jugadores cada vez que entablan una nueva negociación (o discusión, en nuestro ejemplo). Dicho en términos más generales, la viabilidad de una estrategia depende de qué pierden (o renuncian, o dejan de ganar) los jugadores en cada etapa sucesiva si no alcanzan un acuerdo.

En cualquier caso, después de ver ésto, al menos no podrán deciros que la teoría de juegos no puede ayudaros a mejorar vuestras relaciones sentimentales.

Enlaces recomendados
La teoría de juegos y los fundamentos de la moral, por Citoyen en La ley de la gravedad 

6 comentarios:

Demo dijo...

El problema es que el ejemplo es completamente irreal y sólo responde al modelo en un caso: nosotros SIEMPRE iremos a donde ellas digan porque el castigo por no obedecer tiende a infinito.

prueba con juegos menos conflictivos, como los posibles entre Hamás y el gobierno israelí o Cándido Méndez y Gerardo Dáz Ferrán.

Ramón Mateo Escobar dijo...

Un modelo es una "simplificación", no la realidad. Podríamos embarcarnos en una discusión metodológica de esas que le gustan tanto a Citoyen (eso sí, en esta ocasión, a propósito del poder de negociación de las mujeres en toda relación :p).

Sobre lo de Méndez y Ferrán, no tengo tan claro que sean juegos menos conflictivos. De hecho, dudo que se pudiese encontrar ningún equilibrio de Nash estable. La mejor prueba es que ni teniéndoles sin comer durante todo un día les hace firmar un acuerdo. Al final tiene que llegar el Gobierno a sacarles las castañas. En fin, cuestión de incentivos (o falta de ellos, también).

Ramón Mateo Escobar dijo...

Cónstese que para que la estrategia de la chica funcionase no sería estrictamente necesario que plantease ningún castigo. Con que no cediese en ninguna ocasión bastaría. Sin embargo, en ese caso, α>0,5, o en otras palabras, la pareja tendría que perder la paciencia más rápidamente con cada discusión.

Citoyen dijo...

Demo, el modelo representa la estructura de interaccion en el caso de hombres de verdaz como los de antes (John Wayne,etc...), no de homogays que sucumbisteis a la primera ola de feminismo aceptais leer el Hola! para tener algo de lo que hablar con vuestra pareja mientras recordais los tiempos mozos en los que combinabais la private con sex pistols, ambos sacrificados en el altar del "big underwear".

nomegustalapolitica dijo...

Sí, muy bien. Tras transcribir los apuntes de clase (gracias por no transcribir los ejercicios de práctica para el día siguiente)... ¿cuál es exactamente el aprendizaje práctico para la pareja?

Porque me conozco la teoría de juegos y de la decisión al dedillo, y las aplicaciones prácticas más relevantes son otras, no precisamente si tu novia te amenaza con no echar un polvo, a cambio de que hagas lo que se le antoje.

Insisto. Concluyes: "después de ver ésto, al menos no podrán deciros que la teoría de juegos no puede ayudaros a mejorar vuestras relaciones sentimentales"

Sí, vale, muy espléndido... pero ¿cómo exactamente es eso entonces?

Ni idea, ¿verdad?

Ramón Mateo Escobar dijo...

Nomegustalapolitica,

Encantado de tenerte por aquí, eso sí, rogaría que rebajases tu tono. Hasta donde sé, nadie te está atacando y, salvo que tengas un trastorno paranoide grave, no hay motivo alguno para dar el cante. Y en caso de que sea así no soy psicólogo, así que éste tampoco es el sitio para que te desfogues. Ruego por tanto que mantengas las formas.

Cabe decir, en todo caso, que ésto es tan sólo un ejemplo para mostrar cómo se realizan análisis utilizando la teoría de juegos exponiendo una aplicación típica de ellos (la batalla de los sexos). Toda la retórica añadida sólo sirve para darle una mayor amenidad a la exposición y la lectura, no pretende sentar cátedra, ni mucho menos; únicamente hacerlo divertido. Obviamente la teoría de juegos no se utiliza en aplicaciones tan banales en la vida real, pero bien vale como ejemplo.

Si quisieras ponerte puntilloso, bien podría decirse que los miembros de la pareja pueden tener un conocimiento más exacto sobre cómo se desarrolla la dinámica de sus discusiones, los efectos que los incentivos por uno u otro lado pueden tener o el papel que juega la paciencia que cada uno tenga en su resolución, con o sin inentivos de por medio.

P.D. En concreto, me he basado, ex libris, en el libro de Gibbons, "Una introducción a la teoría de juegos", ya que veo que te interesa enormemente qué fuentes puedo emplear.

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